A practical approach to linear algebra by Choudhary P.

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Example text

Beweisen Sie die Aquivalenz der folgenden Aussagen: i) f ∈ K[t] hat eine mehrfache Nullstelle. ii) f und f ′ haben eine gemeinsame Nullstelle, wobei f ′ die formale Ableitung von f ist. ¨ Zeigen Sie ferner f¨ur den Fall K = C die Aquivalenz von i) und ii) zu: iii) Die Diskriminante von f verschwindet (s. die Anmerkungen zur L¨osung von Aufgabe 6). 2. E2. Es sei A = (ai j ) ∈ M(n; K). Zeigen Sie, dass det A ein Polynom in den Eintr¨agen ai j ist. 2 Existenz und Eindeutigkeit 1. Stellen Sie die Permutation [ σ= 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 ] als Produkt von Transpositionen dar.

N Zeilen   .     a0 ··· ··· am      b · · · · · · bn   Res f ,g := det  0 .          .   .. m Zeilen          b0 · · · · · · bn ¨ Zeigen Sie die Aquivalenz der folgenden Aussagen: i) Res f ,g = 0. ii) f ,t f , . . ,t n−1 f , g,tg, . . ,t m−1 g sind linear abh¨angig. iii) Es existieren p, q ∈ K[t], p, q ̸= 0, mit deg p n − 1, deg q m − 1 und p f = qg. Mit etwas Teilbarkeitstheorie von Polynomen kann man zeigen, dass i) bis iii) a¨ quivalent sind zu iv) f und g haben einen gemeinsamen nichtkonstanten Teiler h ∈ K[t].

H. es existieren v, w ∈ R3 , w ̸= 0, mit L = v + Rw) genau dann, wenn es eine Matrix A ∈ M(2 × 3; R) 30 2 Lineare Abbildungen mit rang A = 2 und ein b ∈ R2 gibt, so dass L = {x ∈ R3 : Ax = b}. Was bedeutet das geometrisch? 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 1. Gibt es eine lineare Abbildung F : R2 → R2 mit F(2, 0) = (0, 1), F(1, 1) = (5, 2), F(1, 2) = (2, 3) ? 2. Sei B = (sin, cos, sin · cos, sin2 , cos2 ) und V = span B ⊂ Abb (R, R). Betrachten Sie den Endomorphismus F : V → V, f → f ′ , wobei f ′ die erste Ableitung von f bezeichnet.

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