## Algèbre: Chapitre 4 à 7 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Ce deuxiÃ¨me quantity du Livre d AlgÃ¨bre, deuxiÃ¨me Livre des Ã‰lÃ©ments de mathÃ©matique, traite notamment des extensions de corps et de los angeles thÃ©orie de Galois. Il comprend les chapitres: four. PolynÃ´mes et fractions rationnelles; five. Corps commutatifs; 6. Groupes et corps ordonnÃ©s; 7. Modules sur les anneaux principaux.

Il contient Ã©galement des notes historiques.

Ce quantity est une nouvelle Ã©dition parue en 1981.

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3 de IV, p. 31 et la formule (37), on a = l(g - l), L'expression D(g)/g est appelée la dérivée logarithmique de g (relativement à D). \$ 5. TENSEURS SYMÉTRIQUES ET APPLICATIONS POLYNOMIALES 1. Traces relatives Soient H un groupe, M un A[H]-module à gauche '. Nous noterons M" l'ensemble des m E M tels que hm = m pour tout h E H ' ; c'est un sous-A-module de M. Soit G un sous-groupe de H. Alors MG est un sous-A-module de M contenant MH. Soient m E MG, h E H, et x = hG la classe à gauche de h suivant G.

Soit cp un homomorphisme de A dans un anneau B. On prolonge cp en un homomorphisme \$ de A[[I]] dans B[[I]] en faisant correspondre à toute série formelle u = C avXvla série formelle C cp(av) Xv ; on dit que cette dernière est obtenue en v v appliquant cp aux coefficients de la série formelle u. On écrit parfois % pour @(u). En particulier, si A est un sous-anneau de B, et si cp est l'injection canonique de A dans B, l'homomorphisme de A[p]] dans B[[I]] est injectif; nous identifierons en général A[[I]] par \$ à un sous-anneau de B[[I]].

On a donc log g = l(g - 1 ) pour g dans A, et, en particulier + + + Comme le logarithme est un homomorphisme de A dans 8 , la formule + X) (1 + Y) = 1 + (X + Y + XY) entraîne l(X) + /(Y) = I(X + Y + XY) (39) (1 Soit (u,),,, une famille sommable d'éléments de 8. La famille (exp uJkL est multipliable, et l'on a De mème si (f,),,, est une famille multipliable d'éléments de ,dl, la famille (log f,),, est sommable, et l'on a Soit g E &Y, et soit D une dérivation continue de K[[I]]. On a log g donc, d'après le cor.