Algèbre: Chapitre 4 à 7 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce deuxième quantity du Livre d Algèbre, deuxième Livre des Éléments de mathématique, traite notamment des extensions de corps et de los angeles théorie de Galois. Il comprend les chapitres: four. Polynômes et fractions rationnelles; five. Corps commutatifs; 6. Groupes et corps ordonnés; 7. Modules sur les anneaux principaux.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une nouvelle édition parue en 1981.

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3 de IV, p. 31 et la formule (37), on a = l(g - l), L'expression D(g)/g est appelée la dérivée logarithmique de g (relativement à D). $ 5. TENSEURS SYMÉTRIQUES ET APPLICATIONS POLYNOMIALES 1. Traces relatives Soient H un groupe, M un A[H]-module à gauche '. Nous noterons M" l'ensemble des m E M tels que hm = m pour tout h E H ' ; c'est un sous-A-module de M. Soit G un sous-groupe de H. Alors MG est un sous-A-module de M contenant MH. Soient m E MG, h E H, et x = hG la classe à gauche de h suivant G.

Soit cp un homomorphisme de A dans un anneau B. On prolonge cp en un homomorphisme $ de A[[I]] dans B[[I]] en faisant correspondre à toute série formelle u = C avXvla série formelle C cp(av) Xv ; on dit que cette dernière est obtenue en v v appliquant cp aux coefficients de la série formelle u. On écrit parfois % pour @(u). En particulier, si A est un sous-anneau de B, et si cp est l'injection canonique de A dans B, l'homomorphisme de A[p]] dans B[[I]] est injectif; nous identifierons en général A[[I]] par $ à un sous-anneau de B[[I]].

On a donc log g = l(g - 1 ) pour g dans A, et, en particulier + + + Comme le logarithme est un homomorphisme de A dans 8 , la formule + X) (1 + Y) = 1 + (X + Y + XY) entraîne l(X) + /(Y) = I(X + Y + XY) (39) (1 Soit (u,),,, une famille sommable d'éléments de 8. La famille (exp uJkL est multipliable, et l'on a De mème si (f,),,, est une famille multipliable d'éléments de ,dl, la famille (log f,),, est sommable, et l'on a Soit g E &Y, et soit D une dérivation continue de K[[I]]. On a log g donc, d'après le cor.

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