## Algèbre linéaire by R. Cairoli

By R. Cairoli

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Cette valeur est a = 1, donc les coordonnées de la projection de Psont 2, 1, 1,0. 2 Montrer que toute fonction de la forme f ( t ) = asmÇÀt + f i ) (a, ^ ~^ 0, f i e [0, Itt)) est combinaison linéaire des fonctions s(t) = sin(Âf) et c(t) = cos(2î) et, inversement, que toute combinaison linéaire de s et c est une fonction de la même forme que f. 5). 4 Démontrer que les vecteurs-colonnes û'1 bi 0 0 0 b, 0 0 ' d, c\ d, Cl •> '"3 d, 0 d, ' sont linéairement indépendants si et seulement si a,, b-^, Cy et d^ sont différents de 0.

E,,) c? , ey ^on< (feMJC bases de E, alors n = k. 5 nous déduisons que k < n, ainsi que n "S: k, par un échange du rôle des deux bases. Il s'ensuit que n = k. 6, il est maintenant possible d'attribuer une dimension à tout espace vectoriel de dimension finie. Soit E un tel espace. On appelle dimension de E le nombre de termes d'une quelconque de ses bases. Si E se réduit au seul vecteur nul, on dit que sa dimension est nulle. La dimension de E sera notée dimf. 8 Exemples La dimension de V1 est 2, celle de V3 est 3 et celle de IR" est n.

2). La linéarité à droite découle de l'union de (a) et (b): (x | py + yz) = A(x | y) + y(x | z). (2) En posant a = /? = 0 dans (b), ou /? = y = 0 ci-dessus, nous voyons que le produit scalaire (x | y) est nul si x ou y sont nuls. (3) La linéarité à gauche et à droite du produit scalaire s'étend par récurrence aux combinaisons linéaires de plus de deux termes. 5 Norme d'un vecteur Soit E un espace vectoriel euclidien. On appelle norme d'un vecteur x de E, et l'on note | x ||, le nombre ^/(x | x).