Analytische Geometrie und Lineare Algebra 2 by Ina Kersten

By Ina Kersten

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Aufgabe 82. Sei D4 die Diedergruppe der Ordnung 8. Man bestimme alle Untergruppen von D4 und ermittle, welche davon Normalteiler sind. Aufgabe 83. Eine Gruppe G der Ordnung 55 operiere von links auf einer Menge X mit 18 Elementen. Man zeige, dass es mindestens zwei Fixpunkte in X gibt. ) Analytische Geometrie und Lineare Algebra II, Universit¨ at G¨ ottingen 2006 48 13 13 Bilinearformen Bilinearformen Lernziel. 1 Symmetrische Bilinearformen Sei K ein K¨ orper, und sei V ein K-Vektorraum. Definition.

Lemma. F¨ ur alle P, Q ∈ X und alle v ∈ V gilt: 1) d(P, Q) 0 und d(P, Q) = 0 ⇔ P = Q 2) d(P, Q) = d(Q, P ) Symmetrie“ ” 3) d(P, R) d(P, Q) + d(Q, R) Dreiecksungleichung“ ” 4) d(P + v, Q + v) = d(P, Q) Translationsinvarianz“ ” −−→ −−→ −→ Beweis. 5. 20 gilt P Q + QR = P R, woraus −−→ −−→ P Q = −QP f¨ ur R = P folgt. 5 ergibt dies 2. Und 3. 7: P R = P Q + QR P Q + QR . 20 gilt P + P Q = Q. Dies ergibt −−−−−−−−−−−→ (P + v) + (P + v)(Q + v) = Q + v −−→ −−→ = (P + P Q) + v = P + (v + P Q) −−→ = (P + v) + P Q.

10 orthogonal. 2 bijektiv, und nach Konstruktion von f gilt β = tβ(0) ◦ f . Nun ist klar, dass β als Komposition zweier bijektiver Abbildungen selbst bijektiv ist. 4 erf¨ ullt. 3 Kegelschnitte Definition. Ein Kegelschnitt ist die L¨osungsmenge X einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen (1) f (x1 , x2 ) := a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + a1 x1 + a2 x2 + a = 0 in ❘2 . Dabei sind die Koeffizienten aij , aj , a ∈ ❘. Man nennt den Kegelschnitt ausgeartet, wenn X = ∅ oder X aus einem Punkt oder einer Geraden oder aus zwei Geraden besteht.

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